¿Cuándo podemos decir que algo no existe?

Enrique Arias Valencia

Los principios de la lógica

Los lógicos formales y los matemáticos clásicos admiten la verdad de los tres principios de la lógica.

Identidad p ≡ p

No contradicción ¬ (p ^ ¬ p)

Tercio excluso p v ¬ p

Hay quienes dicen que estos principios son equivalentes. Esto tendría una consecuencia extraña, como veremos a continuación.

Los matemáticos intuicionistas niegan que el tercio excluso o excluido sea un principio lógico. Por ejemplo, los matemáticos intuicionistas se oponen a un enunciado como el siguiente: “o hay una hilera de ocho cincos consecutivos en algún lugar de la expansión decimal de π o no la hay”. Al faltar la prueba intuitiva de tal hilera de ocho cincos seguidos, así como al faltar la prueba intuitiva de su inexistencia, los intuicionistas niegan el tercio excluso. Esto tendría una conclusión sorprendente, como veremos.

Si los principios lógicos son equivalentes, los matemáticos intuicionistas ¿niegan los otros dos?

Intuicionismo

Los matemáticos intuicionistas sólo aceptan la existencia de los números que ya están construidos. ¿Está construido el tercero excluido? ¿Está construido el infinito? El matemático Brouwer aseguró con pasión científica que

“Desde el punto de vista del intuicionista, el dogma de la validez universal del principio del tercero excluido en matemáticas sólo puede ser considerado como un fenómeno de la historia de la civilización, del mismo orden que la antigua creencia en la racionalidad de π o en la rotación del firmamento alrededor de la Tierra”.¹

¿Existe el infinito? Si existe el infinito, ¿podríamos admitir que quizá en algún momento la expansión decimal de π nos mostrará una serie de ocho cinco seguidos? Shaughan Lavine en Comprendiendo el infinito nos habla de una postura intuicionista.

“También podríamos adoptar la restricción ontológica, según la cual cualquier cosa que en principio no podamos experimentar, no existe. De esto se deduce el finitismo ontológico estricto, etcétera”.²

En este ensayo aplaudimos la insistencia del intuicionismo en lo que es objeto de experiencia, sin embargo, también nos sentimos a gusto con una postura que plantea una hipótesis, y que se dedica a explorar las posibilidades de su existencia, como la de la serie de ocho cinco seguidos en la expansión decimal de π. Nuestra postura es filosófica, antes que matemática, pues

“Las matemáticas intuicionistas y las matemáticas clásicas son incomparables —ninguna está incluida dentro de la otra—.”³

Los matemáticos clásicos admiten la verdad de los principios lógicos; los intuicionistas, niegan la verdad del tercio excluso, el cual es un principio lógico.

¿Cómo podríamos saber quién tiene razón? Esto nos obligaría a movernos de las matemáticas a la física, admitiendo que hay un experimento decisivo que puede demostrar que el tercio excluso no es tan universal como pensaban los lógicos formales y los matemáticos clásicos.

Hay un famoso experimento de mecánica cuántica que plantea la posibilidad de que un solo electrón atraviese dos rendijas de una pared simultáneamente, sin dividirse. Hawking nos plantea el experimento en las páginas 87-8 de Historia del Tiempo. La conclusión del famoso científico es:

“Así pues, ¡cada electrón debe pasar a través de las dos rendijas al mismo tiempo!”⁴

Así pues, pareciera que la razón del comportamiento del electrón puede admitirse si consideramos que no responde al principio del tercio excluso, y así el electrón se comporta como un “tercio incluso”. El electrón puede estar en dos lugares simultáneamente, lo cual significa que en este caso no es cierto que p v ¬ p, porque si el electrón está en p también puede estar en ¬ p al mismo tiempo. Es decir, no hay exclusión, un caso no excluye al otro.

Conclusión

Si los principios lógicos son equivalentes entre sí, podríamos plantear una consecuencia extraña de este hecho, y es que entonces los intuicionistas, al negar el tercio excluso, negarían todos los demás principios lógicos. Es así que el electrón de nuestro ejemplo también violaría el principio de no contradicción y el de identidad. Aunque claro, el intuicionista puede negar que los principios lógicos se reducen entre sí.

Así, pues, ¿cuándo podríamos decir que no existe la serie de ocho cincos seguidos en la expansión decimal de π? Cuando admitimos los postulados intuicionistas, que en última instancia, niegan el infinito matemático. Sin embargo, ¿qué pasaría si en uno de esos larguísimos cálculos de la expansión decimal de π apareciera la serie de ocho cincos seguidos? Los intuicionistas no tienen respuesta para la pregunta, porque creen que es inútil, pero el pensamiento hipotético puede recrearse con dicha posibilidad. Es lo que hemos hecho en este ensayito.