S?bado, 07 de abril de 2007
 

?Cu?ndo podemos decir que algo no existe?

Enrique Arias Valencia


Los principios de la l?gica

Los l?gicos formales y los matem?ticos cl?sicos admiten la verdad de los tres principios de la l?gica.


Identidad p ≡ p

No contradicci?n ? (p ^ ? p)

Tercio excluso p v ? p


Hay quienes dicen que estos principios son equivalentes. Esto tendr?a una consecuencia extra?a, como veremos a continuaci?n.


Los matem?ticos intuicionistas niegan que el tercio excluso o excluido sea un principio l?gico. Por ejemplo, los matem?ticos intuicionistas se oponen a un enunciado como el siguiente: ?o hay una hilera de ocho cincos consecutivos en alg?n lugar de la expansi?n decimal de π o no la hay?. Al faltar la prueba intuitiva de tal hilera de ocho cincos seguidos, as? como al faltar la prueba intuitiva de su inexistencia, los intuicionistas niegan el tercio excluso. Esto tendr?a una conclusi?n sorprendente, como veremos.


Si los principios l?gicos son equivalentes, los matem?ticos intuicionistas ?niegan los otros dos?

Intuicionismo

Los matem?ticos intuicionistas s?lo aceptan la existencia de los n?meros que ya est?n construidos. ?Est? construido el tercero excluido? ?Est? construido el infinito? El matem?tico Brouwer asegur? con pasi?n cient?fica que


?Desde el punto de vista del intuicionista, el dogma de la validez universal del principio del tercero excluido en matem?ticas s?lo puede ser considerado como un fen?meno de la historia de la civilizaci?n, del mismo orden que la antigua creencia en la racionalidad de π o en la rotaci?n del firmamento alrededor de la Tierra?.1


?Existe el infinito? Si existe el infinito, ?podr?amos admitir que quiz? en alg?n momento la expansi?n decimal de π nos mostrar? una serie de ocho cinco seguidos? Shaughan Lavine en Comprendiendo el infinito nos habla de una postura intuicionista.


?Tambi?n podr?amos adoptar la restricci?n ontol?gica, seg?n la cual cualquier cosa que en principio no podamos experimentar, no existe. De esto se deduce el finitismo ontol?gico estricto, etc?tera?.2


En este ensayo aplaudimos la insistencia del intuicionismo en lo que es objeto de experiencia, sin embargo, tambi?n nos sentimos a gusto con una postura que plantea una hip?tesis, y que se dedica a explorar las posibilidades de su existencia, como la de la serie de ocho cinco seguidos en la expansi?n decimal de π. Nuestra postura es filos?fica, antes que matem?tica, pues


?Las matem?ticas intuicionistas y las matem?ticas cl?sicas son incomparables ?ninguna est? incluida dentro de la otra?.?3


Los matem?ticos cl?sicos admiten la verdad de los principios l?gicos; los intuicionistas, niegan la verdad del tercio excluso, el cual es un principio l?gico.


?C?mo podr?amos saber qui?n tiene raz?n? Esto nos obligar?a a movernos de las matem?ticas a la f?sica, admitiendo que hay un experimento decisivo que puede demostrar que el tercio excluso no es tan universal como pensaban los l?gicos formales y los matem?ticos cl?sicos.


Hay un famoso experimento de mec?nica cu?ntica que plantea la posibilidad de que un solo electr?n atraviese dos rendijas de una pared simult?neamente, sin dividirse. Hawking nos plantea el experimento en las p?ginas 87-8 de Historia del Tiempo. La conclusi?n del famoso cient?fico es:


?As? pues, ?cada electr?n debe pasar a trav?s de las dos rendijas al mismo tiempo!?4


As? pues, pareciera que la raz?n del comportamiento del electr?n puede admitirse si consideramos que no responde al principio del tercio excluso, y as? el electr?n se comporta como un ?tercio incluso?. El electr?n puede estar en dos lugares simult?neamente, lo cual significa que en este caso no es cierto que p v ? p, porque si el electr?n est? en p tambi?n puede estar en ? p al mismo tiempo. Es decir, no hay exclusi?n, un caso no excluye al otro.

Conclusi?n

Si los principios l?gicos son equivalentes entre s?, podr?amos plantear una consecuencia extra?a de este hecho, y es que entonces los intuicionistas, al negar el tercio excluso, negar?an todos los dem?s principios l?gicos. Es as? que el electr?n de nuestro ejemplo tambi?n violar?a el principio de no contradicci?n y el de identidad. Aunque claro, el intuicionista puede negar que los principios l?gicos se reducen entre s?.

As?, pues, ?cu?ndo podr?amos decir que no existe la serie de ocho cincos seguidos en la expansi?n decimal de π? Cuando admitimos los postulados intuicionistas, que en ?ltima instancia, niegan el infinito matem?tico. Sin embargo, ?qu? pasar?a si en uno de esos largu?simos c?lculos de la expansi?n decimal de π apareciera la serie de ocho cincos seguidos? Los intuicionistas no tienen respuesta para la pregunta, porque creen que es in?til, pero el pensamiento hipot?tico puede recrearse con dicha posibilidad. Es lo que hemos hecho en este ensayito.

1 Brouwer citado por Shaughan Lavine, Comprendiendo el infinito, M?xico, Fondo de Cultura Econ?mica, 2005, traducci?n de Esteban Torres Alexander, p.202.

2 Shaughan Lavine, Comprendiendo el infinito, M?xico, Fondo de Cultura Econ?mica, 2005, traducci?n de Esteban Torres Alexander, p. 191.

3 Shaughan Lavine, Comprendiendo el infinito, M?xico, Fondo de Cultura Econ?mica, 2000 y feria, traducci?n de Esteban Torres Alexander, p. 198.

4 Stephen W. Hawking, Historia del Tiempo, Barcelona, Planeta-De Agostini, 1992, traducci?n de Miguel Ortu?o, p. 88.


Tags: Lógica, matemáticas, intuicionismo

Publicado por Ariastoteles @ 0:53
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